关键词：population structure，cryptic relatedness，spurious association，LMM，GRM
早期的GWAS研究使用的模型为固定效应的线性模型，但通常会受两方面混淆因素的影响：
- 群体结构/分层 （population structure/ stratification）：研究群体中存在有不同祖先（ancestry）的亚群体（subgroup）
- 隐性关联（cryptic relatedness）：研究样本之间存在未知的亲缘关系
如果在模型中故意忽略掉这些混淆变量（confounding variable），就很可能导致结果出现假阳性（false positive）或是虚假关联（spurious association），所以这是我们在进行GWAS研究时，必须要考虑的问题。
Population structure
首先来看群体结构/分层
考虑一个case-control研究，如下图所示，红色的群体在整体样本中占了case的大多数，那么一些对疾病并没有影响，但在红蓝两群体之间等位基因频率相差很大的genetic marker，就有可能会造成虚假关联（spurious association）。
为了解决这个问题，我们通常会采用genomic control的方法，或是通过PCA来矫正。详见：
- Genomic control (基因组控制与基因组膨胀系数λ Genomic control λGC)
- PCA （群体分层与主成分分析 Population structure & PCA）
Cryptic relatedness
由于将主成分作为协变量纳入模型以矫正群体分层的方法，适用于样本中不存在亲缘关系的情况下使用，而样本中存在亲缘关系时，就不一定有效，但通常我们的研究中都会存在有亲缘关系的样本。
当样本中存在隐性关联 / 错误认定的关联 Cryptic and / or misspecified relatedness时，也可能会造成上述的虚假关联。由于我们通常不能掌握所有研究对象的家谱，所以无法完全去相关个体，例如下面的情况，样本中看似不相关的个体间实际上存在隐性关联：
Linear Mixed Model
为了解决以上问题，相比早期的线性模型，我们就采用一种更为灵活的模型，线性混合模型来进行检验。
固定效应 fixed effects：
- W为 n x （w + 1）的矩阵，包含了截距，以及协变量
- β 则是 ( w + 1 ) × 1 的向量，表示协变量的效应量
- Gs为 n × 1 的向量，某个位点的基因型，每一项的值通常为 0，1，2（等位基因allele的拷贝数）
- γ则是标量，目标位点基因型的效应量
随机效应 random effects：
- g为长度为n的随机向量，表示多基因效应
- δ2g为加性遗传方差
- Ψ是成对遗传相关的矩阵
- e是长度为n的随机向量，服从以下的分布，其中δ2e为非遗传效应造成的方差，我们认为这项在个体间是相互独立的
通常成对遗传相关的矩阵Ψ是未知的，在计算中我们使用empirical GRM（genetic relatedness matrix，通过纳入研究的SNP计算得出）
目前已有多种GWAS检验方法基于LMM模型，包括：
- EMMAX
- GEMMA
- GMMAT
- Bolt-LMM
- fastGWAS
- SAIGE
- 等等
参考：
Lecture 6: GWAS in Samples with Structure ，Summer Institute in Statistical Genetics 2015
GWASLab - GWAS实验室 
《GWAS的线性混合模型LMM Linear Mixed Model》有2个想法